Comment dessiner des figures en quatre dimensions
Dans cet article, nous verrons comment dessiner une représentation en 2 dimensions d'objets en 4 dimensions.
Fig.1 L'espace 1-D de la ligne numérique
La figure 1 montre l'axe des x ou la droite numérique. C'est une dimension unique. Tout point de la ligne est représenté par un seul nombre (+ x ou -x) qui indique sa distance par rapport à l'origine (0).
Fig.2 Axes X, Y de l'espace 2D
Fig.3 Un plan de l'espace 2D
La figure 3 montre le plan x, y, indiqué par un carré qui contient les axes x, y de l'espace 2D. Ces axes sont 90OU ALORSles uns aux autres. Tout point du plan est localisé par deux nombres (x, y). X est la distance entre l'axe y et le point. Y est la distance entre l'axe x et le point. Le système de coordonnées 2D est un seul plan.
Fig.4 Les axes X, Y, Z de l'espace 3D
La figure 5 montre les 3 plans qui représentent l'espace 3D.
Tout point dans l'espace 3D est localisé par 3 nombres (x, y, z). Le système de coordonnées 3D se compose de 3 plans. Ici, ces plans sont indiqués par des carrés et ils sont chacun 90OU ALORSles uns aux autres. Parce que nous regardons les plans sous un angle et que leur image est aplatie à la surface 2D de la page, les carrés ne ressemblent pas à des carrés et les angles ne semblent pas être 90OU ALORS. Cependant, nous avons l'habitude de voir les carrés sous un angle et pouvons accepter le dessin comme représentant 3 carrés perpendiculaires.
La figure 6 montre les 4 axes mutuellement perpendiculaires de l'espace 4-D. Ceux-ci peuvent représenter 3 axes spatiaux et un axe temporel ou 4 axes spatiaux x, y, z, w
La figure 7 montre les trois plans 3-D sur leurs axes 4-D.
Le système de coordonnées 4-D se compose de 6 plans. Cela équivaut à toutes les combinaisons appariées des axes, xy, xz, xw, yw, zw et yz. C'est le nombre de combinaisons de n objets pris r à la fois = n! / R! (N-r)! = 4! / 2! (4-2)! = 24/4 = 6.
Tout comme les plans 3D semblent déformés lorsqu'ils sont projetés sur une surface 2D, ces plans en 4 dimensions sont encore plus déformés lorsqu'ils sont projetés sur une surface 2D. La figure 7 montre la projection 2D des 6 plans qui décrivent l'espace 4-D. Tout point dans l'espace 4-D est localisé par 4 nombres (x, y, z, t). Une représentation de l'espace 4-D est comme une photo exposée dans le temps puisque chaque section 3-D se produit à chaque instant différent dans le temps. Cet espace 4-D est l'espace de Minkowski lorsque les transformations de Lorentz sont utilisées avec ce système de coordonnées.
Fig 8 La rotation d'une figure 2D sur un seul plan
En géométrie analectique, il existe deux équations combinées utilisées pour faire pivoter tous les points 2D d'un objet de l'angle q, sur le plan x, y. Ces équations sont
x ’= x * cos q - y * sin q et
y ’= x * sin q + y * cos q.
Utilisation des équations pour la figure 3-D
En développant ces deux équations en 6 équations et en utilisant des points indiqués par 3 nombres, produit une représentation 2D d'un objet 3D. Lorsqu'un plan est tourné, la figure entière est tournée de la même valeur. En utilisant 3 angles de rotation différents, cette représentation d'un objet tridimensionnel peut être vue sous n'importe quel angle.
Algorithme qui produit l'effet 3D
XA = X * COS (A1) -Y * SIN (A1):
YA = X * SIN (A1) + Y * COS (A1)
XB = XA * COS (A2) -Z1 * SIN (A2)
ZA = XA * SIN (A2) + Z1 * COS (A2)
ZB = ZA * COS (A3) -YA * SIN (A3)
YB = ZA * SIN (A3) + YA * COS (A3)
Fig.9 Un objet 3D le cube
Utilisation des équations pour la figure 4-D
En développant ces deux équations en 12 équations et en utilisant des points indiqués par 4 nombres, produit une représentation 2D d'un objet 4D. En faisant tourner tout ou partie des six plans de l'objet 4D, la représentation d'un objet à 4 dimensions peut être vue sous n'importe quel angle.
Algorithme qui produit une image 4D
ZA = Z * CQS (A1) -W * SIN (A1)
WA = Z * SIN (A1) + W * COS (A1)
YA = Y * COS (A2) -WA * SIN (A2)
WB = Y * SIN (A2) + WA * COS (A2)
XA = X * COS (A3) -ZA * SIN (A3)
ZB = X * SIN (A3) + ZA * COS (A3)
XB = XA * COS (A4) -WB * SIN (A4)
WC == XA * SIN (A4) + WB * COS (A4)
YB = YA * COS (A5) -ZB * SIN (A5)
ZC = YA * SIN (A5) + ZB * COS (A5):
XC = XB * COS (A6) -YB * SIN (A6)
YC = XB * SIN (A6) + YB * COS (A6)
X2 = K * (XC + XC * ZC / 800 + XC * WC / 800) +158: REM ajoute une perspective à x (k = échelle)
Y2 = 0,8 * K * (YC + YC * ZC / 800 + YC * WC / 800) +100: REM ajoute la perspective à y (k = échelle)
Fig.10 Un tesseract ou hypercube à quatre dimensions
Fig.11 L'hypercube est composé de 8 cubes 3D entrelacés
Le programme informatique 4D-CUBE dessine le tesseract
Ce programme dessine une représentation bidimensionnelle d'un hypercube quadridimensionnel. Chacun des 16 points ou sommets est indiqué par 4 chiffres. Un nombre pour l'axe des x, l'axe des y, l'axe des z et l'axe des w. Les 32 arêtes sont indiquées en traçant une ligne entre deux sommets. Les figures 12 et 13 montrent l'hypercube à différents degrés de rotation. La figure 14 montre l'hypercube sans rotation autour d'aucun axe. Parce que le programme a un facteur de perspective en lui fig. 14 apparaît comme 3 carrés connectés. Sans perspective fig. 14 apparaîtrait comme un seul carré comme le fait un cube 3D. Dans GW Basic, la hauteur des pixels est supérieure à la largeur. Lorsque les chiffres sont affichés à l'écran, ils sont plus hauts qu'ils ne devraient l'être. En multipliant le y final par 0,8, ces dessins ont été ajustés de manière à ce que la hauteur et la largeur soient corrigées proportionnellement.
Fig. 12
Hypercube 4D et la rotation de chaque plan
ROTATION DU PLAN ZW 10OU ALORS
ROTATION DU PLAN IS 20OU ALORS
ROTATION DE L'AVION XZ 30OU ALORS
ROTATION DE L'AVION XW 40OU ALORS
ROTATION DE L'AVION YZ 50OU ALORS
ROTATION DU PLAN XY 60OU ALORS
Fig. 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Fig 14
Hypercube 4D et rotation des avions. . Hypercube 4D et rotation des plans
ROTATION DU ZW PLANE 50O. . . . . . . .ROTATION DU PLAN ZW 0OU ALORS
ROTATION DU PLAN IS 50O. . . . . . .ROTATION DU PLAN EST 0OU ALORS
ROTATION DE L'AVION XZ 50O. . . . . . . .ROTATION DU PLAN XZ 0OU ALORS
ROTATION DE L'AVION XW 0O. . . . . . . .ROTATION DE L'AVION XW 0OU ALORS
ROTATION DE L'AVION YZ 0O. . . . . . . .ROTATION DE L'AVION YZ 0OU ALORS
ROTATION DU PLAN XY 0O. . . . . . . .ROTATION DU PLAN XY 0OU ALORS
Le programme informatique 4D-CUBE dans GW Basic
100 CLS: REM 4D-CUBE 110 DIM X (300)
120 DIM Y (300)
130 DIM Z (300)
140 DIM W (300)
150 ENTRÉE 'ÉCHELLE (suggérer 1)'; K
160 ENTRÉE 'ROTATION DU PLAN ZW EN DEGRÉS'; Al
170 ENTRÉE `` ROTATION DU PLAN YW EN DEGRÉS ''; A2
180 ENTRÉE 'ROTATION DES INDICES DU PLAN XZ'; A3
190 ENTRÉE 'ROTATION DU PLAN XW EN DEGRÉS'; A4
200 ENTRÉES 'ROTATION DU PLAN YX EN DEGRÉS'; A5
210 ENTRÉE 'ROTATION DU PLAN XY EN DEGRÉS'; A6
230 A1 = A1 / 57.29577951 convertit les degrés en radians
240 A2 = A2 / 57,29577951
250 A3 = A3 / 57,29577951
260 A4 = A4 / 57,29577951
270 A5 = A5 / 57,29577951
280 A6 = A6 / 57.29577951
290 SCREEN 1,0: CLS: KEY OFF: COLOR 0,1 320 FOR N = I TO 2
330 LIRE X, Y, Z, W: REM lit les données
340 SI X = 1.000 PUIS 530
350 ZA = Z * CQS (A1) -W * SIN (A1): Algorithme REM qui produit une image 4D
360 WA = Z * SO (A1) + W cos * (A1)
370 YA = Y * COS (A2) -WA * SIN (A2)
380 WB = Y * SIN (A2) + WA * COS (A2)
390 XA = X * COS (A3) -ZA * SIN (A3)
400 ZB = X * SIN (A3) + ZA * COS (A3)
410 XB = XA * COS (A4) -WB * SIN (A4)
420 WC == XA * SIN (A4) + WB * COS (A4)
430 YB = YA * COS (A5) -ZB * SIN (A5)
440 ZC = YA * SIN (A5) + ZB * COS (A5):
450 XC = XB * COS (A6) -YB * SIN (A6)
460 YC = XB * SIN (A6) + YB * COS (A6)
470 si n = 1 alors 540
480 X2 = K * (XC + XC * ZC / 800 + XC * WC / 800) +158: REM ajoute de la perspective à x (k = échelle)
490 Y2 = 0,8 * K * (YC + YC * ZC / 800 + YC * WC / 800) +100: REM ajoute la perspective à y (k = échelle)
500 SUIVANT N
505 IF W = 40 ALORS 1000: REM met en surbrillance un cube 3D
510 LIGNE (X1,Y1) - (X2, Y2), 3: REM dessine une figure
520 GOTO 320
530 FIN
540 X1 = K * (XC + XC * ZC / 800 + XC * WC / 800) +158: REM ajoute de la perspective à x (k = échelle)
550 Y1 = 0,8 * K * (YC + YC * ZC / 800 + YC * WC / 800) +100: REM ajoute la perspective à y (k = échelle)
560 GOTO 500
600 DONNÉES -40, -40,40, -40,40, -40,40, -40
610 DONNÉES -40, -40, 40, 40, 40, -40, 40, 40
620 DONNÉES 40, -40,40, -40,40,40,40, -40
630 DONNÉES 40, -40 / 40,40,40,40,40,40
640 DONNÉES 40,40,40, -40, -4040,40, -40
650 DONNÉES 40,40,40,40, -40,40,40,40
660 DONNÉES -40,40,40, -40, -40, -40,40, -40
670 DONNÉES -40, 40. 40, 40, -40, -40, 40, 40
680 DONNÉES -40, -40, -40, -40,40, -40, -40, -40
690 DONNÉES -40, -40, -40, 40, 40, -40, -40, 40
700 DONNÉES 40, -40, -40, -40,40,40, -40, -40
710 DONNÉES 40, -40, -40, 40, 40, 40, -40, 40
720 DONNÉES 40, 40, -40, -40, -40, 40, -40, -40
730 DONNÉES 40,40, -40,40, -40,40, -40,40
740 DONNÉES -40,40, -40, -40, -40, -40, -40, -40
750 DONNÉES -40,40, -40,40, -40, -40, -40,40
760 DONNÉES -40, -40, 40, -40, -40, -40, -40, -40
770 DONNÉES -40, -40,40,40, -40, -40, -40,40
780 DONNÉES 40, -40, 40, -40, 40, -40, -40, -40
790 DONNÉES 40, -40, 40, 40,40, -40, -40, 40
800 DONNÉES 40, 40,40, -40, 40, 40, -40, -40
810 DONNÉES 40,40,40,40,40,40, -40,40
820 DONNÉES -40,40,40, -40, -40,40, -40, -40
830 DONNÉES -40, 40, 40, 40, 40, 40, -40, 40
840 DONNÉES -40, -40,40, -40, -40, -40,40,40
850 DONNÉES 40, -40,40, -40,40, -40, 40,40
860 DONNÉES 40,40,40, -40,40,40,40,40
870 DONNÉES -40,40,40, -40, -40,40,40,40
880 DONNÉES -40, -40, -40, -40, -40, -40, -40,40
890 DONNÉES 40, -40, -40, -40, 40, -40, -40, 40
900 DONNÉES 40,40, -40, -40,40,40, -40,40
910 DONNÉES -40,40, -40, -40, -40, 40, -40, 40
920 DONNÉES 1000,1000,1000,1000
1000 LIGNE (X1, Y1) - (X2, Y2), 2
1010 GOTO 320
Le programme informatique 4D-Plane
Ce programme dessine une représentation bidimensionnelle des six plans des 4 axes. La figure 15 montre les six plans et les coordonnées dans l'espace 4D. Une mise en page comme celle-ci est utile avant de dessiner une figure 4-D. En utilisant 6 angles de rotation différents, cette représentation de plans à 4 dimensions peut être vue sous n'importe quel angle. Lorsque tous les angles sont à zéro, nous voyons le plan x.y comme un carré. Tous les autres avions sont à bord.
Fig-15 Les six plans de l'espace 4D
La figure 15 présente tous les points du système de coordonnées 4D. Ceux-ci sont utilisés dans le programme informatique 4D-PLANE
En figue. 16 à 18, nous voyons que les plans 3D sont dessinés avec des lignes bleues, tandis que tous les plans contenant l'axe w sont dessinés en rouge. Lorsque nous exécutons le programme informatique, les plans 3D sont dessinés avec des lignes blanches tandis que tous les plans contenant l'axe w sont dessinés en violet. Dans GW Basic, la hauteur des pixels est supérieure à la largeur. Lorsque les chiffres sont affichés à l'écran, ils sont plus hauts qu'ils ne devraient l'être. En multipliant le y final par 0,8, ces dessins ont été ajustés de manière à ce que la hauteur et la largeur soient corrigées proportionnellement.
Fig.16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fig. 17
Les plans 4D et la rotation des plans Les plans 4D et la rotation des plans
ROTATION DU PLAN ZW 0O. . . . . . . .ROTATION DU PLAN ZW 0OU ALORS
ROTATION DU PLAN EST 0O. . . . . . .ROTATION DU PLAN EST 0
ROTATION DU PLAN XZ 0O. . . . . . . .ROTATION DE L'AVION XZ 30OU ALORS
ROTATION DE L'AVION XW 0O. . . . . . .ROTATION DE L'AVION XW 50OU ALORS
ROTATION DE L'AVION YZ 0O. . . . . . . .ROTATION DE L'AVION YZ 70OU ALORS
ROTATION DU PLAN XY 0O. . . . . . . .ROTATION DU PLAN XY 90OU ALORS
Fig. 18
Plans de coordonnées 4D et rotation de chaque plan
ROTATION DU PLAN ZW 10OU ALORS
ROTATION DU PLAN IS 20OU ALORS
ROTATION DE L'AVION XZ 30OU ALORS
ROTATION DE L'AVION XW 40OU ALORS
ROTATION DE L'AVION YZ 50OU ALORS
ROTATION DU PLAN XY 60OU ALORS
Ce chiffre est complexe et difficile à visualiser. Pour aider à la visualisation de cette figure sur la fig. 18a, il est séparé en 2 parties. Premièrement, les plans 3-d avec les axes x, y, z. Deuxièmement, les plans contenant l'axe w.
Fig.18a deux parties d'un système de coordonnées 4-D
Programme informatique 4D-PLANE
100 CLS: REM 4D-PLANE
110 DIM XC300). 120 DIM Y (300) 130 DIM Z (300) 140 DIM W (300) 150 ENTRÉE 'ÉCHELLE'; K
160 ENTRÉE 'ROTATION DU PLAN ZW EN DEGRÉS'; Al
170 ENTRÉE 'ROTATION DU PLAN WY EN DEGRÉS'; A2
180 ENTRÉE «ROTATION DU PLAN XZ EN DEGRÉS»; A3
190 ENTRÉE 'ROTATION DU PLAN XW EN DEGRÉS'; A4
200 ENTRÉES 'ROTATION DU PLAN YZ EN DEGRÉS'; A5
210 ENTRÉE 'ROTATION DU PLAN XY EN DEGRÉS'; A6
230 A1 = A1 / 57. 2957795 *: REM convertit les degrés en radians
240 A2 = A2 / 57.29577951 *
250 A3 = A3 / 57. 29577951 *
260 A4 = A4 / 57.29577951 *
270 A5 = A5 / 57 295 77951 *
280 A6 = A6 / 57.29577951 *
290 SCREEN 1,0: CLS: KEY OFF: COULEUR 0,1
320 FOR.N = 1 À 2
330 LIRE X, Y, Z, W
340 SI X = 1000 PUIS 530
350 ZA = Z * COS (A1) -W # SIN (A1): algorithmes REM pour produire une représentation 2D d'un objet 4D
360 WA = Z * SO (A1) + W cos * (A1)
370 YA = Y * COS (A2) -WA * SIN (A2)
380 WB = Y * SIN (A2) + WA * COS (A2)
390 XA = X * COS (A3) -ZA * SIN (A3)
400 ZB = X * SIN (A3) + ZA * COS (A3)
410 XB = XA * COS (A4) -WB * SIN (A4)
420 WC = XA * SIN (A4) + WB * COS (A4)
430 YB = YA * COS (A5) -ZB * SIN (A5)
440 ZC = YA * SIN (A5) + ZB * COS 450 XC = XB * COS (A6) -YB * SIN (A6) 460 YC = XB * SIN (A6) + YB * COS (A6) 470 SI N = l ALORS 540 480 X2 = K * (XC + XC * ZC / 800 + XC * WC / 800) +158 490 Y2 = 0,8 * K * (YC + YC * ZC / 800 + YC * WC / 800) +100 500 SUIVANT N 505 SI W = 40 OU W = -40 PUIS 1000 510 LIGNE (X1, Y1) - (X2, Y2), 3 520 GOTO 320 530 FIN 540 X1 = K * (XC + XC * ZC / 800 + XC * WC / 800) +158 550 Y1 = 0,8 * K * (YC + YC * ZC / 8OO + YC * WC / 800) +100 560 GOTO 500 600 DONNÉES - 40, - 400,0, 40, - 40,0,0 610 DONNÉES 40, - 40,0,0,40,40,0,0 620 DONNÉES 40,40,0,0, -40,40,0,0 630 DONNÉES - 40,40,0,0, - 40, - 40,0,0 640 DONNÉES - 40, 0,40, 0, 40, 0., - 40, 0 650 DONNÉES 40, 0, - 40,0,40,0, 40,0 660 DONNÉES - 40,0,40,0,40,0,40,0 670 DONNÉES - 40, 0, 40, 0, - 40, 0, - 40, 0 680 DONNÉES 0, - 40, - 40, 0, 0, 40, - 40, 0 690 DONNÉES 0,40, - 40,0,0,40,40,0 700 DONNÉES 0,40,40,0,0, - 40, 40, 0 710 DONNÉES 0, - 40, 40, 0,0, - 40`` - 40,0 720 DONNÉES - 40,0,0, - 40,40,0,0, -40 730 DONNÉES 40,0,0, - 40,40,0,0,40 740 DONNÉES 40,0,0,40, - 40,0,0,40 750 DONNÉES - 40,0.0,40, - 40,0,0, - 40 760 DONNÉES 0, - 40,0, - 40,0,40,0, - 40 770 DONNÉES 0,0, 0, - 40, 0, 40, 0, 40 780 DONNÉES 0,40.0, 40, .0,40,0,40 790 DONNÉES 0, -40, 0, 40, 0, -40`` 6, - 40 800 DONNÉES 0,0, 40, - 40, 0, 0, - 40, - 40 810 DONNÉES 0,0,40, 40, 0., 0, 40, - 40 820 DONNÉES 0,0, 40, 40, 0, 0, - 40, 40 830 DONNÉES 0,0, - 4,40,0,0, - 40, - 40 840 DONNÉES 40, 0, 0, 0, - 40, 0, 0,0 850 DONNÉES 0,40,0,0,0, - 40,0,0 860 DONNÉES 0,0,40,0,0, - 40,0 870 DONNÉES 0,0,0,40,0,0,0, - 40 920 DONNÉES 1000,1000,1000,1000 1000 LIGNE (X 1, Y1) - (X2, Y2), 2 1010 GOTO 320 Ce programme a intégré la perspective, de sorte que les lignes plus éloignées de l'œil sont plus petites. Pour supprimer cette perspective, remplacez les lignes 480, 490, 540 et 550 par; 480 X2 = K * (XC) +158 490 Y2 = K * (YC) +100 540 X1 = K * (XC) +158 550 Y1 = K * (YC) +100 Cela vaut également pour le programme précédent le 4D-CUBE. La perspective peut être supprimée de ce programme par les mêmes lignes. Un dessin approximatif en 4-D peut être réalisé en dessinant deux fois un dessin en 3-D d'un objet. Puis reliant le point avec des lignes. La figure 20 montre le système de coordonnées 4-D dessiné de cette façon. Fig.20 système de coordonnées à quatre dimensions La figure 21 montre le tétraèdre, le cube et l'octaèdre 4-D dessinés de cette manière. Fig.21 tétraèdre à quatre dimensions, cube et octaèdre En comprenant ces principes, vous pouvez dessiner toutes sortes de figures 4D. Ceux-ci peuvent être utilisés pour étudier et comprendre des systèmes multidimensionnels. Quatre dimensions le 28 octobre 2017: Rotation dans un espace à quatre dimensions. La cellule 5 est un analogue du tétraèdre. Tesseract est un hypercube à quatre dimensions - un analogue d'un cube. Le 16 cellules est un analogue de l'octaèdre. Le 24 cellules est l'un des polytopes réguliers. L'hypersphère est un analogue de la sphère. Mara Alexander de Los Angeles, Californie le 27 février 2015: Alors kewl, c'est absolument génial. Merci pour le partage Je l'ai voté Bennimus - Continuation le 29 octobre 2014: J'ai également oublié de mentionner. L'astuce de connexion des points fonctionnera sur les cubes, mais vous ne pouvez pas l'utiliser sur les tétraèdres. Vous obtiendrez un «prisme tétraédrique». Un bon 5 cellules a 5 sommets. Idem pour les octoèdres. Cela ne fonctionnera pas à moins que vous ne vouliez vous retrouver avec un prisme. Benn le 29 octobre 2014: À propos du graphe 4D. Il y a un peu de motif dans les représentations 2D de graphes de plus grande dimension. Généralement, l'axe Z monte. Dans les dessins 2D, Y monte. Alors, où va Y? Il est un peu écrasé avec l'axe X. La même chose se produit lorsque nous introduisons ce que l'on appelle proprement un axe W. Lorsque l'axe W entre dans le scénario, il pointe vers le haut et il écrase l'axe Z le long des axes Y et X. Dans l'ensemble, cela n'a vraiment pas d'importance tant que vous avez 4 axes, mais si vous allez un jour faire des mesures d'hypercubes, c'est la façon la plus simple de le faire. Rahul le 01 août 2013: C'est vraiment tellement bon, mais je le sais, pouvez-vous me dire quelque chose sur la sphère 4-D. Je m'appelle Rahul et j'ai 14 ans. Si vous pouvez me dire quelque chose à propos de la sphère 4-D, dites-le-moi, c'est mon ID- [email protected] Merci Monsieur Casper le 30 décembre 2012: Excellent !, cependant, un tétraèdre 4d n'a que 5 coins! Dans votre exemple d'un tétraèdre 4d, vous avez fait 2 tétraèdres normaux reliés les uns aux autres par des angles de 90 degrés dans la quatrième dimension. Zack le 29 février 2012: Je ne pouvais rien faire de ça! Je ne suis qu'en 7e année et j'adore les mathématiques et les formes géométriques, mais cela n'a aucun sens. Pourriez-vous clarifier cela, s'il vous plaît? mon email est [email protected]. Merci, Zack. tout le 20 février 2012: Vous l'avez fait si simple, c'est du génie. C'est la meilleure explication d'un principe fondamental que j'ai vu. Merci. Continuer. p johnny joe le 22 novembre 2011: monsieur, c'était génial de voir une figure en quatre dimensions faite par vous, quand elle va entrer en action, pouvons-nous rendre les choses utiles aux êtres humains par ces chiffres, 100% des choses sont constituées de 3dimensional, je suis un professeur de mathématiques Je suis curieux de le savoir s'il vous plaît écrivez en détail à mon identifiant [email protected] merci toxiKrystal le 06 juin 2010: très clair et concis. surprenant, compte tenu de la quantité d'informations utiles ici, ainsi que de la nature complexe de l'espace de quatrième dimension lui-même. J'ai acquis des connaissances utiles et je suis sûr qu'il y a plus à apprendre ici. Favoris à coup sûr ^ - ^ ... ne sont pas des objets 4dimentionnels incroyablement beaux ^ - ^ vous m'avez certainement aidé à les dessiner à la main. Merci beaucoup -chat Ambiance le 12 mai 2010: Monsieur, vous êtes génial et passionné, vous avez vraiment profité de cet article, merci et continuez votre travail formidable à venir!
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